Mémoire d'actuariat

Etude de la calibration du modèle de taux LMM+
Auteur(s) BURG Antoine
Société AXA Group Risk Management
Année 2018
Confidentiel jusqu'au 19/09/2020

Résumé
La cohérence avec le marché imposée par Solvabilité II signifie que l'évaluation de l'actif et du passif d'une compagnie d'assurance doit s'effectuer en valeur de marché. La complexité des calculs exigés, en particulier celui du Best Estimate of Liabilities (BEL), rend nécessaire l'utilisation de simulations stochastiques, qui sont produites à l'aide d'un Générateur de Scénarios Economiques (GSE); L'objet de ce mémoire est d'étudier la calibration risque-neutre du modèle de taux Displaced Diffusion Stochastic Volatility Libor Market Model (LMM+) à partir de données de volatilité de swaptions, afin d'obtenir notre propre outil de calibration et d'améliorer la méthodologie actuelle. La calibration reprend la méthode du modèle d'Heston pour les options européennes, dans le but de répliquer les résultats produits par le générateur Barrie & Hibbert (BH). Ainsi, ce mémoire présente en détails le fonctionnement du modèle ainsi que sa calibration. A l'heure actuelle, la modélisation du LMM+ semble encore trop contraignante pour réussir à capter certaines formes de surfaces de volatilité. La principale contrainte provient de la modélisation de la structure de volatilité par une fonctionnelle de Rebonato. Nous la remplaçons alors par un modèle Nelson-Siegel-Svensson, ce qui permet d'augmenter la flexibilité du LMM+ ainsi que la qualité de la calibration. Cette qualité est mesurée à la fois en terme de problème d'optimisation, mais également en vérifiant les tests de martingalité et de cohérence avec le marché. Enfin, une attention particulière est portée à la construction de l'outil de calibration, en veillant notamment à choisir un algorithme d'optimisation hybride combinant algorithme génétique et de Nelder-Mead que nous adaptons le plus efficacement possible à notre problème.

Abstract
The market consistency required by Solvency II means that the assets and liabilities of an insurance company have to be valued as market values. The use of stochastic simulations, produced with an Economic Scenario Generator, is necessary due to the complexity of the mandatory calculations, especially the calculation of the Best Estimate of Liabiltiies (BEL). The goal of this thesis is to study the risk-neutral calibration of the Dispaced Diffusion Stochastic Volatility Libor Market Model (LMM+) model on the swaption volatilities. Doing so, we are able to build our own calibration tool and improve the current methodoloty. The calibration is based on Heston model framework to price European options, in order to replicate the results of the Barrie & Hibbert (BH) generator. So, details of the LMM+ model and its calibration will be explained. Now, the LMM+ modelisation seems to have much constraints to be able to fit some shape of the volatility surface. The major constraint comes from the model of the volatility structure with a Rebonato functional form. We propose to replace it with the Nelson-Siegel-Svensson model, which enables to earn more flexibility within the model and a higher quality of the calibration. This quality is assessed as an optimisation problem, as well as running martingale and market consistency tests. Eventually, we focus on building an efficient calibration tool by choosing an appropriate hybrid optimization algorithm, combining genetic algoritm and Nelder-Mead algorithm, that we tune to our needs.

Mémoire complet