Mémoire d'actuariat

Estimation du choc local de perte d\'autonomie dans le cadre d\'une assurance dépendance collective
Auteur(s) DECAUX Brice
Société AXA France
Année 2017
Confidentiel jusqu'au 17/11/2019

Résumé
Afin de tester leur solvabilité́ dans un environnement défavorable, ou alors pour pouvoir calculer leur capital de solvabilité́ requis sous les contraintes de Solvabilité́ 2, les assureurs doivent faire mettre en place des stress-test. Dans le cadre de l’assurance dépendance, un des scénarios stressés consiste à̀ appliquer un choc positif au taux d’incidence qui représente la probabilité́ de tomber en dépendance. Le but de ce rapport est d’estimer ce choc à partir de données locales issues d’un contrat d’assurance dépendance. La première partie se concentre sur l’assurance dépendance des collectives. Une brève présentation de l’assurance collective et de l’assurance dépendance en France précède les principes de modélisation de la perte d’autonomie. Le modèle simple de dépendance considéré ici suppose trois états possibles pour un individu. La seconde partie concerne la modélisation du choc local d’incidence. Ce choc est dé- composé en deux erreurs, l’erreur d’estimation et l’erreur de processus. L’erreur d’estimation correspond au terme additionnel aléatoire du taux estimé. Le but est donc de calibrer la volatilité́ de l’estimation, de chaque âge, sur les données du portefeuille afin de récupérer un quantile, soit en utilisant des hypothèses sur la loi des estimateurs, soit en le simulant. C’est un quantile d’ordre 99.5% qui représente un événement rare et extrême survenant une fois tous les 200 ans. Ce quantile est obtenu soit par simulation (Monte Carlo et Bootstrap), soit par modélisation paramétrique des estimateurs, par la loi normale pour les taux d’incidence et par la loi binomiale pour le nombre de sinistres constatés. L’erreur de processus correspond à l’évolution temporelle des probabilités non prise en compte soit directement par le modèle soit pas les variables sous-jacentes au modèle. Cette erreur admet deux mesures. La première est dite \"rétrospective\" et s’appuie sur les données historiques pour calibrer une loi sur l’évolution des probabilités dans le but de déterminer un certain quantile qui sera le taux stressé. L’autre mesure est \"Prospective\" car elle est issue d’un modèle stochastique appliqué au jeu de donné afin de prédire un taux stressé dans le futur, à la date d’évaluation (ici 2015). L’erreur agrégée, que l’on appellera choc global, est calculée à l’aide d’une agrégation elliptique sous l’hypothèse que les composants Erreur de Processus et d’Estimation ne sont pas corrélés. Les deux chocs issus de la seconde partie du mémoire sont ensuite implémentés dans un outil de calcul d’indicateurs de rentabilité́. Le constat final est plutôt clair, sous les hypo- thèses retenues concernant la morphologie du contrat et l’évolution des paramètres (taux technique, taux d’actualisation, etc.…), la modification du niveau du choc n’a pas d’impact sur la rentabilité́ du contrat en dépendance. Cependant des écarts existent concernant le montant des provisions et du capital de solvabilité́ alloué pour ce risque. A court et moyen terme, les baisses de niveau de choc entraînent une hausse de la rentabilité́. Mais à long terme, la diminution du capital alloué au risque, placé sur les marchés financiers, engendre une baisse des intérêts financiers ce qui rééquilibre les écarts de rentabilité́. Le risque de perte d’autonomie a donc peu d’effet sur la rentabilité́ d’un contrat face à̀ d’autres risques tels que les risques de marché ou de longévité́. Les taux d’incidence étant généralement assez faibles, un choc n’engendre pas une modification exceptionnelle du déroulement du contrat.

Abstract
In order to test their solvency in an unfavorable environment, or to be able to calculate their Solvency Capital Requirement under Solvency 2 constraints, insurers must have stress tests implemented. In the context of the long-term care insurance, one of the stressed sce- narios is to apply a positive shock to the incidence rate, which represents the probability of becoming dependent. The purpose of this report is to estimate this shock from local data from a long-term care insurance contract. The first part focuses on group dependency insurance. A brief presentation of group insu- rance and long-term care insurance in France precedes the principles of modeling the loss of autonomy. The simple dependency model considered here assumes three possible states for an individual. The second part concerns the modeling of local impact shock. This shock is broken down into two errors, the estimation error and the process error. The estimation error corresponds to the additional random term of the estimated rate. The goal is therefore to calibrate the volatility of the estimate of each age on the portfolio data in order to recover a quantile, either by using assumptions on the law of the estimators, or by simulating it. It is a 99.5% quantile that represents a rare and extreme event oc- curring once every 200 years. This quantile is obtained either by simulation (Monte Carlo and Bootstrap), or by parametric modeling of the estimators, by the normal law for the incidence rates and by the binomial law for the number of observed losses. The process error corresponds to the temporal evolution of the probabilities not taken into account either directly by the model or not the variables underlying the model. This error admits two measures. The first is called \"retrospective\" and relies on historical data to ca- librate a law on the evolution of probabilities in order to determine a certain quantile that will be the stress rate. The other measure is \"Foresight\" because it comes from a stochastic model applied to the dataset to predict a stress rate in the future, as of the valuation date (2015). The aggregate error, which we will call global shock, is computed using an elliptic aggregation under the assumption that the Process Error and Estimation components are not correlated. The two shocks from the second part of the memory are then implemented in a tool for calculating profitability indicators. The final conclusion is rather clear, under the assump- tions made concerning the morphology of the contract and the evolution of the parameters (technical rate, discount rate, etc ...), the change in the level of the shock has no impact on the profitability of the contract in dependence. However, there are differences regarding the amount of provisions and solvency capital al- located for this risk. In the short and medium term, decreases in shock levels lead to higher profitability. But in the long term, the reduction in capital allocated to risk, placed on the financial markets, leads to a fall in financial interests which rebalances the differences in profitability. The risk of loss of autonomy therefore has little effect on the profitability of a contract in the face of other risks such as market or longevity risks. As the incidence rates are generally quite low, a shock does not lead to an exceptional change in the course of the contract