Mémoires d'Actuariat
Gestion de risque de portefeuilles financiers avec des outils de matrices aléatoires
Auteur(s) LAMRANI L.
Société Ecole Polytechnique et Capital Fund Management
Année 2021
Résumé
Dans le cadre de l'approche moyenne/variance de Markowitz, l'estimation de la matrice de variance-covariance des rendements des actifs est cruciale pour l'investisseur qui souhaite sélectionner un portefeuille ou contrôler les risques de son portefeuille. La diversification des actifs fait que le nombre d'actifs présents dans un portefeuille est de l'ordre de plusieurs centaines. Par exemple pour estimer la matrice de variance-covariance d’un portefeuille contenant 500 actions il faudrait de l’ordre de quatre à cinq ans de données quotidiennes. On cherche cependant à privilégier les données récentes dans la mesure où les séries financières ne sont pas stationnaires. Dans le cas où le nombre d'observations n'est pas très grand par rapport à la taille de l'objet observé, l'estimateur empirique a une efficacité limitée. Il entraîne même une sous-estimation du risque de portefeuille lorsqu'il est combiné à la théorie de Markowitz. Le but de ce travail est donc d'étudier différents estimateurs des matrices de variance-covariance et de comparer leurs efficacités. On étudiera en particulier deux estimateurs provenant de la théorie des matrices aléatoires : l'estimateur de Ledoit-Péché pour les matrices de variance-covariance dites "invariantes par rotation" et un estimateur développé pour les matrices de crosscovariance qui permet d'étudier les corrélations entre différentes classes d'actifs. Nous étudierons également un estimateur obtenu par crossvalidation, une technique courante en machine learning. Ces estimateurs seront testés sur des données simulées puis sur des données financières françaises et américaines. Nous chercherons à montrer leur intérêt pour la gestion des risques de grands portefeuilles financiers.
Abstract
Within the framework of Markowitz mean/variance optimization, the estimation of the covariance matrix of the returns of the assets is of paramount importance for the investor who wants to select a portfolio or for the asset manager who wishes to control the risks of his portfolio. Investors who rely on diversification tend to hold a large number of different assets, typically hundreds of assets. For example, to estimate a covariance matrix of size 500, one needs around four or five years of daily financial data. Also to have a more realistic view of the market behavior, investors tend to consider recent data, therefore the amount of available data to estimate the covariance matrix is limited: although bigger than the size of the object to be estimated it is not much bigger. In this case it is well known that the empirical estimator has limited efficiency especially when combined with Markowitz' theory. The goal of this work is to study different estimators and to compare their efficiency. We will focus in particular on two estimators coming from random matrix theory. In this framework, each entry of the matrix to estimate is seen as a random variable which represents the covariance between two financial assets. We will study Ledoit-Péché estimator for covariance matrices which are "rotationally invariant" and a recently developed estimator for crosscovariance matrices which enables to study the correlations between different types of assets (eg: stocks, bonds, futures...). Estimation by crossvalidation, a common technique of machine learning will also be considered. These estimators will be tested on simulated data and then on French and American financial data. We will try to show the interest and efficiency of these estimators for risk management of large financial portfolios.
Mémoire complet
Auteur(s) LAMRANI L.
Société Ecole Polytechnique et Capital Fund Management
Année 2021
Résumé
Dans le cadre de l'approche moyenne/variance de Markowitz, l'estimation de la matrice de variance-covariance des rendements des actifs est cruciale pour l'investisseur qui souhaite sélectionner un portefeuille ou contrôler les risques de son portefeuille. La diversification des actifs fait que le nombre d'actifs présents dans un portefeuille est de l'ordre de plusieurs centaines. Par exemple pour estimer la matrice de variance-covariance d’un portefeuille contenant 500 actions il faudrait de l’ordre de quatre à cinq ans de données quotidiennes. On cherche cependant à privilégier les données récentes dans la mesure où les séries financières ne sont pas stationnaires. Dans le cas où le nombre d'observations n'est pas très grand par rapport à la taille de l'objet observé, l'estimateur empirique a une efficacité limitée. Il entraîne même une sous-estimation du risque de portefeuille lorsqu'il est combiné à la théorie de Markowitz. Le but de ce travail est donc d'étudier différents estimateurs des matrices de variance-covariance et de comparer leurs efficacités. On étudiera en particulier deux estimateurs provenant de la théorie des matrices aléatoires : l'estimateur de Ledoit-Péché pour les matrices de variance-covariance dites "invariantes par rotation" et un estimateur développé pour les matrices de crosscovariance qui permet d'étudier les corrélations entre différentes classes d'actifs. Nous étudierons également un estimateur obtenu par crossvalidation, une technique courante en machine learning. Ces estimateurs seront testés sur des données simulées puis sur des données financières françaises et américaines. Nous chercherons à montrer leur intérêt pour la gestion des risques de grands portefeuilles financiers.
Abstract
Within the framework of Markowitz mean/variance optimization, the estimation of the covariance matrix of the returns of the assets is of paramount importance for the investor who wants to select a portfolio or for the asset manager who wishes to control the risks of his portfolio. Investors who rely on diversification tend to hold a large number of different assets, typically hundreds of assets. For example, to estimate a covariance matrix of size 500, one needs around four or five years of daily financial data. Also to have a more realistic view of the market behavior, investors tend to consider recent data, therefore the amount of available data to estimate the covariance matrix is limited: although bigger than the size of the object to be estimated it is not much bigger. In this case it is well known that the empirical estimator has limited efficiency especially when combined with Markowitz' theory. The goal of this work is to study different estimators and to compare their efficiency. We will focus in particular on two estimators coming from random matrix theory. In this framework, each entry of the matrix to estimate is seen as a random variable which represents the covariance between two financial assets. We will study Ledoit-Péché estimator for covariance matrices which are "rotationally invariant" and a recently developed estimator for crosscovariance matrices which enables to study the correlations between different types of assets (eg: stocks, bonds, futures...). Estimation by crossvalidation, a common technique of machine learning will also be considered. These estimators will be tested on simulated data and then on French and American financial data. We will try to show the interest and efficiency of these estimators for risk management of large financial portfolios.
Mémoire complet
